オプション評価の二項モデル1期間【金融工学】
二項モデルについて、学んだ内容を備忘録的にアウトプット。
例えば、株価が100円だったとする。1日後に70%の確率で株価が200円になり、30%の確率で株価が50円になるような世界を考える
正確にはこの世界では毎日、70%の確率で株価が2倍になり、30%の確率で株価が0.5倍になる。
ここで、行使価格が170円のヨーロピアン・コール・オプションを作成することを考えると、このオプションはいくらで売るのが妥当だろうか?
このオプション価格を決めるにあたって、無裁定取引と複製ポートフォリオいう考え方が大事になる。
複製ポートフォリオとは、オプションの価値を原資産と安全資産で構築するものだ。要するに、オプションと株式・安全資産の間では無裁定条件が成り立っているので、オプションの価値は株式と安全資産を組み合わせることで再現できるものであり、その具体的な組み合わせが複製ポートフォリオと呼ばれる。
数式を使って説明する。
0日目の株式の価格をS、株の購入枚数をN、銀行からの借り入れ額or預金額をBとする。また、安全利子率をrとする。
先ほど説明した通り、株式の価値SNと銀行のお金Bで、オプションの価値C0は再現できなければならない。(もしどちらがの価値が高ければ、安い方を高い価格で売って金儲けできてしまい、無裁定条件が成り立たない)
(1) SN + B = C0
この等式1日後にも成り立っていなければならないので、1日後の関係式は次のようになる。ただし冒頭紹介した通り、株価の上昇率u=2.0, 下効率d=0.5である。
(2) uSN + (1 + r)B = C1(u) = max{uS - K, 0} (株価が2倍になる場合)
(3) dSN + (1 + r)B = C1(d) = max{dS - K, 0} (株価が0.5倍になる場合)
株価はu倍またはd倍され、銀行のお金は1+r倍の金利がついており、オプションの価値C1(u), C1(d)は行使価格Kと株価の大小関係で決まる。
(2), (3)はN, Bに関する連立方程式なので、これを解くと、
N =
B =
と求まる。これを(1)に代入すると、
C0 = SN + B
=
=
(但し、)
と表される。
これが何を意味するか分かるだろうか?
なんとオプションの販売価格は、株価が上下する確率に関係なく、取引満期のオプション価値だけで計算できるのだ。
より詳細に言えば、万期時点のオプションの期待値をqを用いて計算し、 安全資産の利子率で割引することによって、オプションの現在価値を求めることができるのだ。
このqはリスク中立確率と呼ばれ、無裁定条件が成り立つ世界での仮想的な確率変数である。(確率の期待値計算と同じように使っているだけで、実際は確率を表しているわけではないことに注意する)